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第1题

In convex quadrilateral ABCD ABCD , diagonals AC AC 且 BD BD 是perpendicular 且opposite sides AB AB 且 DC DC 是不parallel. 设 th在点 P P , 其中perpendicular bisectors 的 AB AB 且 DC DC meet, 是inside ABCD ABCD . 证明 ABCD ABCD 是a cyclic quadrilateral if 且仅if 三角形s ABP ABP 且 CDP CDP have equal 面积s.
第 2/5 步：Reduce 面积 condition
上一步下一步
通俗地说

Replace original 面积s 由积s 上perpendicular diagonals.

[ABP]=[CDP]  ⟺  AH⋅BK=CH⋅DK[ABP]=[CDP]\iff AH\cdot BK=CH\cdot DK
详细分析

Decompose two 面积s 在 X X 且使用 AC⊥BD AC\perp BD . In either possible order 的 A,X,C A,X,C 且 B,X,D B,X,D , signed-面积 terms involving PH PH 且 PK PK cancel. The equality 是therefore equivalent 到 AH⋅BK=CH⋅DK AH\cdot BK=CH\cdot DK , 其中所有four quantities 是positive 距离s along two diagonals.