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第1题

In convex quadrilateral ABCD ABCD , diagonals AC AC 且 BD BD 是perpendicular 且opposite sides AB AB 且 DC DC 是不parallel. 设 th在点 P P , 其中perpendicular bisectors 的 AB AB 且 DC DC meet, 是inside ABCD ABCD . 证明 ABCD ABCD 是a cyclic quadrilateral if 且仅if 三角形s ABP ABP 且 CDP CDP have equal 面积s.
第 4/5 步：证明 converse
上一步下一步
通俗地说

比较 two pairs 的equal radii 由projection.

AH⋅BK=CH⋅DK⇒PA=PCAH\cdot BK=CH\cdot DK\Rightarrow PA=PC
详细分析

假设 面积s 是equal. 若 PA>PC PA>PC , then projections 上 AC AC 译文： give AH>CH AH>CH ; 因为 PA=PB PA=PB 且 PC=PD PC=PD , projections 上 BD BD 译文： give BK>DK BK>DK . Th是contradicts AH⋅BK=CH⋅DK AH\cdot BK=CH\cdot DK 译文：. The case PA<PC PA<PC similarly gives reverse strict inequality. 所以 PA=PC PA=PC .