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第2题

设 n≥2 n\ge2 be a fixed 整数. (a) Find least 常数 C C 使得 对所有 nonnegative 实数 x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) 确定 when equality occurs 对于th是value 的 C C .
第 1/5 步：Find sharp candidate
上一步下一步
通俗地说

A two-variable test gives lower bound.

C≥1/8C\ge1/8
详细分析

译文：Take x1=x2=1 x_1=x_2=1 且所有other variables zero. The left side 是 22 且 (∑xi)4=16(\sum x_i)^4=16, so any valid 常数 satisfies C≥1/8 C\ge1/8.