第2题

设

n\ge2

be a fixed 整数. (a) Find least 常数

C

使得对所有 nonnegative 实数

x_1,\dots,x_n

\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4

. (b) 确定 when equality occurs 对于th是value 的

C

第 2/5 步：估计 left-h且side

通俗地说

Replace 每个pair’s 平方和由total 平方和.

\sum_{i<j}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le QR

详细分析

设 $Q=\sum_i x_i^2$ 且 $R=\sum_{i<j}x_ix_j$ . F或每个pair, $x_i^2+x_j^2\le Q$ , so left side 是在most $QR$ .