第3题

译文：Consider an

n\times n

平方棋盘, 其中

n

是a fixed even 正整数. The 棋盘是divided in到

n^2

unit 平方s. We say th在two different 平方s 上棋盘是adjacent if they have a comm上side.

N

unit 平方s 上棋盘是marked 中such a way th在每个平方 (marked 或unmarked) 上棋盘是adjacent 到在least one marked 平方. 确定 smallest possible value 的

N

第 3/5 步：计数 construction

上一步下一步

通俗地说

计数 arithmetic progressi上的marks.

1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}2

详细分析

The 数s 的marks 上selected diagonals 是 $1,2,\ldots,m$ 中required 数列 (two halves 的棋盘 contribute $1,3,5,\ldots$ 且then $m,m-2,\ldots$ ). 故 $m(m+1)/2$ marked white 平方s dominate 所有black 平方s. Repeating 满足colors exchanged gives a configurati上满足 $m(m+1)$ marks dominating whole 棋盘.