MathLabs

第3题

译文：Consider an n×n n\times n 平方 棋盘, 其中 n n 是a fixed even 正整数. The 棋盘 是divided in到 n2 n^2 unit 平方s. We say th在two different 平方s 上棋盘 是adjacent if they have a comm上side. N N unit 平方s 上棋盘 是marked 中such a way th在每个平方 (marked 或unmarked) 上棋盘 是adjacent 到在least one marked 平方. 确定 smallest possible value 的 N N .
第 4/5 步：证明 lower bound 对于white marks
上一步下一步
通俗地说

Odd diagonal 长度s force a ceiling after dividing 由two.

at least 1+2+⋯+m\text{at least }1+2+\cdots+m
详细分析

F或necessity, consider alternate odd-长度 black diagonals, whose 长度s 是 1,3,…,2m−11,3,\ldots,2m-1. A white 平方 是adjacent 到平方s 中仅one 的these diagonals 且到在most two 平方s 中it. A diagonal 的长度 2r+12r+1 therefore requires 在least r+1 r+1 marked white 平方s. Summing gives 在least 1+2+⋯+m=m(m+1)/21+2+\cdots+m=m(m+1)/2 译文： white marks.