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国际数学奥林匹克
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2001年
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第4题
第4题
设
n
>
1
n>1
n
>
1
be an odd 整数 且let
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
k_1,k_2,\dots,k_n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
be 整数s. F或每个排列
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
\mathbf a=(a_1,\dots,a_n)
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
的
1
,
…
,
n
1,\dots,n
1
,
…
,
n
译文：, define
S
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
a
i
S(\mathbf a)=\sum_{i=1}^n k_i a_i
S
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
a
i
. 证明 there 是distinct 排列s
b
,
c
\mathbf b,\mathbf c
b
,
c
使得
n
!
n!
n
!
译文： divides
S
(
b
)
S
(
c
)
S(\mathbf b)S(\mathbf c)
S
(
b
)
S
(
c
)
.
第 1/4 步：Sum 由positions
上一步
下一步
∑
a
S
(
a
)
=
(
n
−
1
)
!
n
(
n
+
1
)
2
∑
i
k
i
≡
0
(
m
o
d
n
!
)
.
\sum_{\mathbf a}S(\mathbf a)=(n-1)!\frac{n(n+1)}2\sum_i k_i\equiv0\pmod{n!}.
a
∑
S
(
a
)
=
(
n
−
1
)!
2
n
(
n
+
1
)
i
∑
k
i
≡
0
(
mod
n
!)
.
详细分析
Each value occurs (n minus 1) factorial times 中每个position.
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