国际数学奥林匹克 · 2001年

试题

第1题设 $ABC$ be an acute-角d 三角形满足circumcentre $O$ . 设 $P$ 上 $BC$ be foot 的altitude 从 $A$ . 设 th在 $\angle BCA\ge\angle ABC+30^\circ$ . 证明 $\angle CAB+\angle COP<90^\circ$ .解法: 1
第2题F或所有正实数 $a,b,c$ 译文：, prove $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1$ .解法: 1
第3题Twenty-one girls 且twenty-one boys took part 中a mathematical contest. Each contestant solved 在most six problems. F或每个girl 且每个boy, 在least one problem was solved 由both 的them. 证明 there was a problem solved 由在least three girls 且在least three boys.解法: 1
第4题设 $n>1$ be an odd 整数且let $k_1,k_2,\dots,k_n$ be 整数s. F或每个排列 $\mathbf a=(a_1,\dots,a_n)$ 的 $1,\dots,n$ 译文：, define $S(\mathbf a)=\sum_{i=1}^n k_i a_i$ . 证明 there 是distinct 排列s $\mathbf b,\mathbf c$ 使得 $n!$ 译文： divides $S(\mathbf b)S(\mathbf c)$ .解法: 1
第5题In 三角形 $ABC$ , $AP$ 译文： bisects $\angle BAC$ 满足 $P$ 上 $BC$ , 且 $BQ$ 译文： bisects $\angle ABC$ 满足 $Q$ 上 $CA$ 译文：. Given $\angle BAC=60^\circ$ 且 $AB+BP=AQ+QB$ , determine possible 角s 的 $ABC$ .解法: 1
第6题设 $a>b>c>d>0$ be 整数s satisfying $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ . 证明 $ab+cd$ 是不素数.解法: 1