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国际数学奥林匹克
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2001年
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第4题
第4题
设
n
>
1
n>1
n
>
1
be an odd 整数 且let
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
k_1,k_2,\dots,k_n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
be 整数s. F或每个排列
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
\mathbf a=(a_1,\dots,a_n)
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
的
1
,
…
,
n
1,\dots,n
1
,
…
,
n
译文：, define
S
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
a
i
S(\mathbf a)=\sum_{i=1}^n k_i a_i
S
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
k
i
a
i
. 证明 there 是distinct 排列s
b
,
c
\mathbf b,\mathbf c
b
,
c
使得
n
!
n!
n
!
译文： divides
S
(
b
)
S
(
c
)
S(\mathbf b)S(\mathbf c)
S
(
b
)
S
(
c
)
.
第 2/4 步：假设 distinct residues
上一步
下一步
{
S
(
a
)
m
o
d
n
!
}
=
{
0
,
1
,
…
,
n
!
−
1
}
.
\{S(\mathbf a)\bmod n!\}=\{0,1,\dots,n!-1\}.
{
S
(
a
)
mod
n
!}
=
{
0
,
1
,
…
,
n
!
−
1
}
.
详细分析
若 desired pair did 不exist, n factorial residues would 所有be distinct.
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