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国际数学奥林匹克
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2001年
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第6题
第6题
设
a
>
b
>
c
>
d
>
0
a>b>c>d>0
a
>
b
>
c
>
d
>
0
be 整数s satisfying
a
c
+
b
d
=
(
b
+
d
+
a
−
c
)
(
b
+
d
−
a
+
c
)
ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
a
c
+
b
d
=
(
b
+
d
+
a
−
c
)
(
b
+
d
−
a
+
c
)
. 证明
a
b
+
c
d
ab+cd
ab
+
c
d
是不素数.
第 2/6 步：构造 quadrilateral
上一步
下一步
W
X
=
a
,
X
Y
=
c
,
Y
Z
=
b
,
Z
W
=
d
,
W
Y
2
=
a
2
−
a
c
+
c
2
.
WX=a,\quad XY=c,\quad YZ=b,\quad ZW=d,\quad WY^2=a^2-ac+c^2.
W
X
=
a
,
X
Y
=
c
,
Y
Z
=
b
,
Z
W
=
d
,
W
Y
2
=
a
2
−
a
c
+
c
2
.
详细分析
The cosine rule gives 角s WXY equal 到60 degrees 且WZY equal 到120 degrees, so quadrilateral 是cyclic.
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