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第2题

设 BCBC 是圆 ω\omega 的直径，圆心为 OO。取 ω\omega 上的点 AA，满足 0∘<∠AOB<120∘0^\circ<\angle AOB<120^\circ。令 DD 为不含 CC 的弧 ABAB 的中点。过 OO 作平行于 ADAD 的直线 ℓ\ell；直线 ℓ\ell 与 ACAC 交于 JJ。OAOA 的垂直平分线与 ω\omega 交于 EE、FF。证明 JJ 是三角形 CEFCEF 的内心。
第 3/3 步：证明 JJ 是内心
上一步下一步
通俗地说

关于中点的对称性给出一个角平分线，正三角形给出另一个角平分线。

∠DEF=12∠EFC\angle DEF=\frac12\angle EFC
详细分析

由于 MM 同时是 AOAO、DJDJ 和 EFEF 的中点，四边形 DFJEDFJE 是平行四边形。因此 ∠DEF=∠EFJ\angle DEF=\angle EFJ。由相等的弦 AE=AFAE=AF 可知 AA 是不含 CC 的弧 EFEF 的中点，所以 ACAC 是 ∠ECF\angle ECF 的内角平分线；于是三角形 CEFCEF 的内心位于 ACAC 上，正如 JJ 一样。还需证明 FJFJ 是顶点 FF 处的内角平分线。由于 D,E,FD,E,F 在 ω\omega 上，由圆周角定理和正三角形 AFOAFO，有 ∠DEF=12∠DOF=12(∠DOA+60∘)\angle DEF=\frac12\angle DOF=\frac12(\angle DOA+60^\circ)。由上一步 ∠DOA=∠OAC\angle DOA=\angle OAC，且 ∠EAO=60∘\angle EAO=60^\circ，所以 ∠DEF=12(∠OAC+∠EAO)=12∠EAC\angle DEF=\frac12(\angle OAC+\angle EAO)=\frac12\angle EAC。四点 E,A,F,CE,A,F,C 共圆，故 ∠EAC=∠EFC\angle EAC=\angle EFC。于是 ∠EFJ=12∠EFC\angle EFJ=\frac12\angle EFC，所以 FJFJ 平分顶角 FF。两条内角平分线交于 JJ，故 JJ 是内心。