国际数学奥林匹克 · 2002年

试题

第1题设 n 为正整数。令 T 为满足 x,y 为非负整数且 x+y<n 的点 (x,y) 的集合。将 T 中每个点染成红色或蓝色，并要求若 (x,y) 为红色，则第一坐标不超过 x 且第二坐标不超过 y 的所有点也为红色。设 A 为选取 n 个横坐标互不相同的蓝点的方法数，B 为选取 n 个纵坐标互不相同的蓝点的方法数。证明 A=B. $n$ $T$ $(x,y)$ $x$ $y$ $x+y<n$ $T$ $(x,y)$ $T$ $x$ $y$ $A$ $n$ $x$ $B$ $n$ $y$ $A=B$ 解法: 1
第2题设 $BC$ 是圆 $\omega$ 的直径，圆心为 $O$ 。取 $\omega$ 上的点 $A$ ，满足 $0^\circ<\angle AOB<120^\circ$ 。令 $D$ 为不含 $C$ 的弧 $AB$ 的中点。过 $O$ 作平行于 $AD$ 的直线 $\ell$ ；直线 $\ell$ 与 $AC$ 交于 $J$ 。 $OA$ 的垂直平分线与 $\omega$ 交于 $E$ 、 $F$ 。证明 $J$ 是三角形 $CEF$ 的内心。解法: 1
第3题求所有正整数对 $m,n\ge3$ ，使得存在无穷多个正整数 $a$ ，令 $\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ 为整数。解法: 1
第4题设 $n\ge2$ 为正整数，其正因子为 $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ 。证明 $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ 总小于 $n^2$ ，并确定它何时是 $n^2$ 的因子。解法: 1
第5题求所有函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ，使得对任意实数 $x,y,z,t$ 都有 $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ 。解法: 1
第6题设 $n\ge3$ 为正整数。平面上有 n 个单位圆 $C_1,C_2,\ldots,C_n$ ，其圆心分别为 $O_1,O_2,\ldots,O_n$ 。若没有直线与超过两个圆相交，证明 $\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}$ 。解法: 1