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第4题

设 n≥2n\ge2 为正整数，其正因子为 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n。证明 d1d2+d2d3+⋯+dk−1dkd_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k 总小于 n2n^2，并确定它何时是 n2n^2 的因子。
第 1/3 步：配对互补因子
上一步下一步
通俗地说

反转相邻乘积并利用 =n。

S=∑i=1k−1didi+1=n2∑i=1k−11didi+1S=\sum_{i=1}^{k-1}d_id_{i+1}=n^2\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{d_id_{i+1}}
详细分析

由于 didk−i+1=nd_i d_{k-i+1}=n，将和反向排列即可配对互补因子。