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第4题

设 n≥2n\ge2 为正整数，其正因子为 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n。证明 d1d2+d2d3+⋯+dk−1dkd_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k 总小于 n2n^2，并确定它何时是 n2n^2 的因子。
第 2/3 步：证明严格上界
上一步下一步
通俗地说

由 i，倒数和由裂项和控制。

∑i=1k−11didi+1≤∑i=1k−11i(i+1)<1\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{d_id_{i+1}}\le\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{i(i+1)}<1
详细分析

因 且 ，有 ，从而 。 S<n2S<n^2 ∑(1/i−1/(i+1))=1−1/k<1\sum(1/i-1/(i+1))=1-1/k<1 di≥id_i\ge i