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2002年
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第5题
第5题
求所有函数
f
:
R
→
R
f:\mathbb R\to\mathbb R
f
:
R
→
R
，使得对任意实数
x
,
y
,
z
,
t
x,y,z,t
x
,
y
,
z
,
t
都有
(
f
(
x
)
+
f
(
z
)
)
(
f
(
y
)
+
f
(
t
)
)
=
f
(
x
y
−
z
t
)
+
f
(
x
t
+
y
z
)
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)
(
f
(
x
)
+
f
(
z
))
(
f
(
y
)
+
f
(
t
))
=
f
(
x
y
−
z
t
)
+
f
(
x
t
+
y
z
)
。
第 1/3 步：处理常数函数
上一步
下一步
通俗地说
代入常数函数即可得到两个可能值。
4
c
2
=
2
c
4c^2=2c
4
c
2
=
2
c
详细分析
若 ，则 ，所以 或 ；二者都满足方程。
f
≡
c
f\equiv c
f
≡
c
4
c
2
=
2
c
4c^2=2c
4
c
2
=
2
c
c
=
0
c=0
c
=
0
c
=
1
/
2
c=1/2
c
=
1/2
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