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第5题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使得对任意实数 x,y,z,tx,y,z,t 都有 (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy−zt)+f(xt+yz)(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。
第 2/3 步：推出乘法性
上一步下一步
通俗地说

含零的代入给出乘法性与偶性。

f(xy)=f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)
详细分析

对非恒定解，代入可得 f(0)=0f(0)=0，另一种可能性会使 ff 为常数。进一步得到 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) 和乘法性；由平方关系可知 f(x)≥0f(x)\ge0（x≥0x\ge0）且 f(1)=1f(1)=1。