第6题

设

n\ge3

为正整数。平面上有 n 个单位圆

C_1,C_2,\ldots,C_n

，其圆心分别为

O_1,O_2,\ldots,O_n

。若没有直线与超过两个圆相交，证明

\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}

。

第 1/3 步：测量切线弧

上一步下一步

通俗地说

一个单位圆的切线只有在对应的两段短弧上才会切到另一个圆。

\sin\frac{\theta_{ij}}2=\frac1{O_iO_j}

详细分析

首先，任意两个圆都不相交。若两个圆在一点相交，取经过该点和第三个圆上任意一点的直线，它就会与三个圆相交，矛盾。固定 $i\ne j$ 。令 $\theta_{ij}$ 表示 $C_i$ 上切线与 $C_j$ 相交的两段弧中每一段的角长度。在这类弧的端点，圆心 $O_j$ 到切线的距离为 $1$ 。切点相对于垂直于 $O_iO_j$ 的方向偏转弧长的一半，因此直角三角形给出 $1=O_iO_j\sin(\theta_{ij}/2)$ ，即 $\sin(\theta_{ij}/2)=1/O_iO_j$ 。所以 $1/O_iO_j=\sin(\theta_{ij}/2)\le\theta_{ij}/2$ 。