一条切线不可能属于两组弧，否则同一直线会与三个圆相交。
固定 iii 时，不同 jjj 对应的弧两两不相交：若同一点处的切线同时与 CjC_jCj 和 CkC_kCk 相交，它就会与三个圆相交。令 αi\alpha_iαi 为这些弧并集的总角长度。每个 jjj 贡献两段长度为 θij\theta_{ij}θij 的弧，因此 αi=∑j≠i2θij\alpha_i=\sum_{j\ne i}2\theta_{ij}αi=∑j=i2θij。再令 βi\beta_iβi 为 CiC_iCi 上切线是所有闭圆盘并集的支撑线的点集的角长度。当支撑线的方向转过一整圈时，接触点恰好扫过这些支撑弧，所以 ∑iβi=2π\sum_i\beta_i=2\pi∑iβi=2π。支撑弧与上述成对弧不相交。因此 ∑i(αi+βi)≤2nπ\sum_i(\alpha_i+\beta_i)\le2n\pi∑i(αi+βi)≤2nπ，从而 ∑iαi≤2(n−1)π\sum_i\alpha_i\le2(n-1)\pi∑iαi≤2(n−1)π。