第2题

设 $b>1$，令正整数商为 $k$。移项得 $X^2-2kb^2X+k(b^3-1)=0$，其中一个根为 $a$。由 Vieta，另一根为 $a'=2kb^2-a=k(b^3-1)/a$。第一个表达式说明 $a'$ 为整数，第二个表达式说明因 $k>0$ 且 $b^3-1>0$ 而有 $a'>0$。同一个多项式恒等式给出 $a'^2=k(2a'b^2-b^3+1)$，所以新分母为正，商仍为 $k$。