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国际数学奥林匹克 · 2003年

试题

  1. 第1题设 AA 是 S={1,2,…,106}S=\{1,2,\ldots,10^6\} 的一个含 101 个元素的子集。证明存在 SS 中的数 t1,t2,…,t100t_1,t_2,\ldots,t_{100}，使得 Aj={x+tj∣x∈A}A_j=\{x+t_j\mid x\in A\}（j=1,2,…,100j=1,2,\ldots,100）两两不相交。解法: 1
  2. 第2题求所有正整数对 (a,b)(a,b)，使 a22ab2−b3+1\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} 为正整数。解法: 1
  3. 第3题凸六边形的每一对对边都满足：它们中点之间的距离 pp 等于两边长度之和的 32\frac{\sqrt3}{2}。证明该六边形为等角六边形。解法: 1
  4. 第4题设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。解法: 1
  5. 第5题设 nn 为正整数，x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为实数。证明 (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2，且等号当且仅当 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 构成等差数列。解法: 1
  6. 第6题设 pp 为素数。证明存在素数 qq，使得对每个整数 nn，数 np−pn^p-p 都不被 qq 整除。解法: 1