第2题

对每个 $b>1$ 的解，由分母为正得 $2ab^2-b^3+1=b^2(2a-b)+1>0$，故 $2a\ge b$。若 $2a>b$，则 $a^2>b^2$，从而 $a>b$。设前一步的两根为 $a_1,a_2$。若它们都不满足 $2a=b$，排序后有 $a_1>a_2>b$；Vieta 给出 $a_1+a_2=2kb^2$ 及 $a_1a_2=k(b^3-1)$。但此时 $a_1>(a_1+a_2)/2=kb^2$，于是 $a_1a_2>kb^3$，与 $a_1a_2=k(b^3-1)$ 矛盾。因此某个根满足 $2a=b$。写成 $b=2t$，则 $k=t^2$，边界根为 $(a,b)=(t,2t)$；其共轭根为 $a'=8t^4-t$。再加上 $b=1$ 的解族，直接代入验证可知，全部解为正整数 $t$ 对应的 $(2t,1)$、$(t,2t)$ 和 $(8t^4-t,2t)$。