展开长度平方后，几何不等式变为内积不等式。
将第一条平方得 ∣u∣2+2u⋅v+∣v∣2≥3(∣u∣2−2u⋅v+∣v∣2)|\mathbf u|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v+|\mathbf v|^2\ge3(|\mathbf u|^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v+|\mathbf v|^2)∣u∣2+2u⋅v+∣v∣2≥3(∣u∣2−2u⋅v+∣v∣2)，从而 ∣u∣2+∣v∣2≤4u⋅v|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2\le4\mathbf u\cdot\mathbf v∣u∣2+∣v∣2≤4u⋅v。展开另外两条得到 ∣v∣2+∣w∣2≤4v⋅w|\mathbf v|^2+|\mathbf w|^2\le4\mathbf v\cdot\mathbf w∣v∣2+∣w∣2≤4v⋅w 和 ∣w∣2+∣u∣2≤−4w⋅u|\mathbf w|^2+|\mathbf u|^2\le-4\mathbf w\cdot\mathbf u∣w∣2+∣u∣2≤−4w⋅u。