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第3题

凸六边形的每一对对边都满足：它们中点之间的距离 pp 等于两边长度之和的 32\frac{\sqrt3}{2}。证明该六边形为等角六边形。
第 6/7 步：利用等号确定对边方向
上一步下一步
通俗地说

三角不等式取等号使每对对边平行，且沿周界行进时方向相反。

a+c=sb,DE→=−ra,EF→=−sb,FA→=−tc,r=t=1s\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b,\qquad \overrightarrow{DE}=-r\mathbf a,\quad\overrightarrow{EF}=-s\mathbf b,\quad\overrightarrow{FA}=-t\mathbf c,\qquad r=t=\frac1s
详细分析

设 a=AB→\mathbf a=\overrightarrow{AB}、b=BC→\mathbf b=\overrightarrow{BC}、c=CD→\mathbf c=\overrightarrow{CD}。第 2 步的等号条件给出正数 r,s,tr,s,t，使得 DE→=−ra\overrightarrow{DE}=-r\mathbf a、EF→=−sb\overrightarrow{EF}=-s\mathbf b、FA→=−tc\overrightarrow{FA}=-t\mathbf c。第 1 步的零和关系等价于 a+c=sb\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b。利用边向量闭合关系、此等式以及 a,c\mathbf a,\mathbf c 不平行，得到 r=t=1/sr=t=1/s。