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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 2/7 步：用交比表示中点
上一步下一步
通俗地说

中点与该直线的无穷远点构成调和关系。

cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1
详细分析

令 I∞I_\infty 为沿 Simson 线方向的无穷远点，并采用仿射约定 cr⁡(X,Y;Z,I∞)=(z−x)/(z−y)\operatorname{cr}(X,Y;Z,I_\infty)=(z-x)/(z-y)。若 q=(p+r)/2q=(p+r)/2，则 cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1；反过来此等式给出 2q=p+r2q=p+r。所以 PQ=QR  ⟺  cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1PQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1。