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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 3/7 步：构造平行弦
上一步下一步
通俗地说

DQ 与圆的第二个交点产生一条平行于 Simson 线的弦。

∠DQR=∠DAR=∠DAB=∠DEB,BE∥PQR\angle DQR=\angle DAR=\angle DAB=\angle DEB,\qquad BE\parallel PQR
详细分析

设 E≠DE\ne D 为 DQDQ 与外接圆的第二交点，F≠BF\ne B 为 BQBQ 与该圆的第二交点。由圆内接四边形 AQDRAQDR 得 ∠DQR=∠DAR\angle DQR=\angle DAR；因 A,R,BA,R,B 共线，∠DAR=∠DAB\angle DAR=\angle DAB。又因 A,B,D,EA,B,D,E 共圆，∠DAB=∠DEB\angle DAB=\angle DEB。由于 D,E,QD,E,Q 共线，最后一个等式说明 BEBE 平行于 QRQR，从而平行于 Simson 线 PQRPQR。