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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 4/7 步：把交比投影到外接圆
上一步下一步
通俗地说

中心投影保持交比，把中点条件变为以 B 为中心的调和直线束。

cr⁡(P,R;Q,I∞)=cr⁡(BC,BA;BF,BE)\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE)
详细分析

从 BB 把四点 P,R,Q,I∞P,R,Q,I_\infty 投影到过 BB 的直线束上。它们的像依次为 BC,BA,BF,BEBC,BA,BF,BE：BP=BCBP=BC、BR=BABR=BA、BQ=BFBQ=BF，且由第 3 步有 BI∞=BEBI_\infty=BE。中心投影在仿射坐标上是分式线性变换，故保持交比，得到 cr⁡(P,R;Q,I∞)=cr⁡(BC,BA;BF,BE)\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE)。因此度量中点条件有精确的射影表达。