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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 5/7 步：用长度计算投影条件
上一步下一步
通俗地说

由直角得到的两个圆把交比条件化为两对边之比的等式。

PQ=CDsin⁡∠BCA,QR=ADsin⁡∠BAC,PQ=QR  ⟺  ADCD=ABBCPQ=CD\sin\angle BCA,\qquad QR=AD\sin\angle BAC,\qquad PQ=QR\iff\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}
详细分析

圆内接四边形 CQDPCQDP 的直径为 CDCD，由弦长公式得 PQ=CDsin⁡∠BCAPQ=CD\sin\angle BCA。同理，AQDRAQDR 的直径为 ADAD，故 QR=ADsin⁡∠BACQR=AD\sin\angle BAC。三角形 ABCABC 的正弦定理给出 sin⁡∠BCA/sin⁡∠BAC=AB/BC\sin\angle BCA/\sin\angle BAC=AB/BC。所以 PQ=QR  ⟺  CD AB/BC=AD  ⟺  AD/CD=AB/BCPQ=QR\iff CD\,AB/BC=AD\iff AD/CD=AB/BC。这就是对第 4 步调和直线束的明确长度计算。