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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 6/7 步：应用两个角平分线定理
上一步下一步
通俗地说

每条内角平分线都按边长比在 AC 上确定一个点。

AXXC=ABBC,AYYC=ADDC,X=Y  ⟺  ADDC=ABBC\frac{AX}{XC}=\frac{AB}{BC},\qquad \frac{AY}{YC}=\frac{AD}{DC},\qquad X=Y\iff\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}
详细分析

设 BB 处内角平分线与 ACAC 交于 XX，DD 处内角平分线与 ACAC 交于 YY。由角平分线定理，AXXC=ABBC\frac{AX}{XC}=\frac{AB}{BC} 且 AYYC=ADDC\frac{AY}{YC}=\frac{AD}{DC}。XX 和 YY 都在 ACAC 段上，并由正比值唯一确定。因此两条平分线在 ACAC 上相交于同一点，当且仅当 X=Y  ⟺  ADDC=ABBCX=Y\iff\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}。