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第4题

设 ABCDABCD 为圆内接四边形，P,Q,RP,Q,R 分别为从 DD 向直线 BC,CA,ABBC,CA,AB 作垂线的垂足。证明 PQ=QRPQ=QR 当且仅当角 ABCABC 与 ADCADC 的平分线交于线段 ACAC 上。
第 7/7 步：完成双向证明
上一步下一步
通俗地说

射影中点判据与两条平分线的比值判据是同一条件。

PQ=QR  ⟺  cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1  ⟺  ADCD=ABBC  ⟺  X=YPQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1\iff\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\iff X=Y
详细分析

第 2 步和第 4 步给出 PQ=QR  ⟺  cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1PQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1，并将其识别为调和直线束 cr⁡(BC,BA;BF,BE)=−1\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE)=-1。第 5 步计算出 PQ=QR  ⟺  AD/CD=AB/BCPQ=QR\iff AD/CD=AB/BC，第 6 步给出 X=Y  ⟺  AD/CD=AB/BCX=Y\iff AD/CD=AB/BC。因此 PQ=QRPQ=QR 当且仅当两条内角平分线在 ACAC 段上的同一点 X=YX=Y 相交，证毕。