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第5题

设 nn 为正整数，x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为实数。证明 (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2，且等号当且仅当 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 构成等差数列。
第 1/3 步：排序并取间隔
上一步下一步
通俗地说

排序后每个差都是连续间隔之和。

di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0
详细分析

由于两个双重和关于各 xix_i 对称，可重新编号使 x1≤⋯≤xnx_1\le\cdots\le x_n，并令 di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0。当 i<ji<j 时，有 ∣xj−xi∣=∑r=ij−1dr|x_j-x_i|=\sum_{r=i}^{j-1}d_r 以及 xj−xi=∑r=ij−1drx_j-x_i=\sum_{r=i}^{j-1}d_r。