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第5题

设 nn 为正整数，x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为实数。证明 (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2，且等号当且仅当 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 构成等差数列。
第 2/3 步：改写两边
上一步下一步
通俗地说

把两个对称和表示为区间量 L,Q。

L=∑r=1n−1r(n−r)drL=\sum_{r=1}^{n-1}r(n-r)d_r
详细分析

令 L=∑r=1n−1r(n−r)drL=\sum_{r=1}^{n-1}r(n-r)d_r，Q=∑1≤i<j≤n(∑r=ij−1dr)2Q=\sum_{1\le i<j\le n}(\sum_{r=i}^{j-1}d_r)^2。每个间隔 drd_r 恰好出现在 r(n−r)r(n-r) 个区间中，所以绝对值双重和为 2L2L。将 (i,j)(i,j) 与 (j,i)(j,i) 配对，平方差双重和为 2Q2Q。因此原不等式等价于 L2≤(n2−1)Q/3L^2\le(n^2-1)Q/3。