MathLabs

第5题

设 nn 为正整数，x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为实数。证明 (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2，且等号当且仅当 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 构成等差数列。
第 3/3 步：中心化与柯西–施瓦茨
上一步下一步
通俗地说

将变量中心化，使等号条件清楚可见。

3L2≤(n2−1)Q3L^2\le(n^2-1)Q
详细分析

令 xˉ=1n∑k=1nxk\bar x=\frac1n\sum_{k=1}^n x_k。计算所有两两差的和中每个 xkx_k 的系数，因 ∑k=1n(2k−n−1)=0\sum_{k=1}^n(2k-n-1)=0，得到 L=∑k=1n(2k−n−1)xk=∑k=1n(2k−n−1)(xk−xˉ)L=\sum_{k=1}^n(2k-n-1)x_k=\sum_{k=1}^n(2k-n-1)(x_k-\bar x)。利用有限和公式 ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2 和 ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6，得到 ∑k=1n(2k−n−1)2=4∑k=1nk2−4(n+1)∑k=1nk+n(n+1)2=n(n2−1)3\sum_{k=1}^n(2k-n-1)^2=4\sum_{k=1}^n k^2-4(n+1)\sum_{k=1}^n k+n(n+1)^2=\frac{n(n^2-1)}3。展开平方差可得 ∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2=2n∑k=1nxk2−2(∑k=1nxk)2=2n∑k=1n(xk−xˉ)2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2=2n\sum_{k=1}^n x_k^2-2(\sum_{k=1}^n x_k)^2=2n\sum_{k=1}^n(x_k-\bar x)^2，因此 Q=12∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2=n∑k=1n(xk−xˉ)2Q=\frac12\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2=n\sum_{k=1}^n(x_k-\bar x)^2。由柯西–施瓦茨不等式，L2≤n(n2−1)3∑k=1n(xk−xˉ)2=n2−13QL^2\le\frac{n(n^2-1)}3\sum_{k=1}^n(x_k-\bar x)^2=\frac{n^2-1}{3}Q。等号当且仅当存在常数 cc 使 xk−xˉ=c(2k−n−1)x_k-\bar x=c(2k-n-1)，即 xk=x1+2c(k−1)x_k=x_1+2c(k-1)；重新编号后这正是等差数列，也包括 c=0c=0。