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第6题

设 pp 为素数。证明存在素数 qq,使得对每个整数 nn,数 np−pn^p-p 都不被 qq 整除。
第 2/3 步:计算 p 的阶
通俗地说

模 q 下 p 的阶为 p,所以 。

ord⁡q(p)=pandq=pk+1withp∤k\operatorname{ord}_q(p)=p \quad\text{and}\quad q=pk+1 \quad\text{with}\quad p\nmid k
详细分析

由 得 。阶不可能为 ,否则 。因 为素数,故阶为 ,于是 且 。 11 pp p∤kp\nmid k pp≡1(modq)p^p\equiv1\pmod q qq q=pk+1q=pk+1 q∣Φp(1)=pq\mid\Phi_p(1)=p