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第6题

设 pp 为素数。证明存在素数 qq,使得对每个整数 nn,数 np−pn^p-p 都不被 qq 整除。
第 3/3 步:排除所有整数
通俗地说

若 p 是 p 次幂剩余,则其阶条件与 p 矛盾。

np≢p(modq)n^p\not\equiv p\pmod q
详细分析

假设 ppmod q。在阶为 pk 的循环群 (mathbb Z/qmathbb Z)^ imes 中,p 为 p 次幂的判据给出 q。 np≡p(modq)n^p\equiv p\pmod q pp pk≡1(modq)p^k\equiv1\pmod q pp pp p∤kp\nmid k qq np−pn^p-p