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第1题

设 ABCABC 是满足 AB≠ACAB\ne AC 的锐角三角形。以 BCBC 为直径的圆与边 ABAB、ACAC 分别交于 MM、NN。设 OO 为边 BCBC 的中点。角 ∠BAC\angle BAC 与角 ∠MON\angle MON 的平分线交于 RR。证明三角形 BMRBMR 与 CNRCNR 的外接圆在边 BCBC 上有一个公共点。
第 1/4 步：识别 M,NM,N 为垂足
上一步下一步
BM⊥AB (since ∠BMC=90∘), CN⊥AC (since ∠BNC=90∘); H:=CM∩BN=orthocenterBM\perp AB \text{ (since } \angle BMC=90^\circ\text{)},\ CN\perp AC \text{ (since }\angle BNC=90^\circ\text{)};\ H:=CM\cap BN=\text{orthocenter}
详细分析

由于 M 在以 BC 为直径的圆上，angle BMC=90^circ，所以 CMperp AB。同理 BNperp AC。故 M,N 分别是从 C,B 作出的高的垂足，且 H=CMcap BN 是垂心。 MM BCBC angleBMC=90circangle BMC=90^circ CMperpABCMperp AB BNperpACBNperp AC MM NN CC BB H=CMcapBNH=CMcap BN