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国际数学奥林匹克 · 2004年

试题

  1. 第1题设 ABCABC 是满足 AB≠ACAB\ne AC 的锐角三角形。以 BCBC 为直径的圆与边 ABAB、ACAC 分别交于 MM、NN。设 OO 为边 BCBC 的中点。角 ∠BAC\angle BAC 与角 ∠MON\angle MON 的平分线交于 RR。证明三角形 BMRBMR 与 CNRCNR 的外接圆在边 BCBC 上有一个公共点。解法: 1
  2. 第2题求所有实系数多项式 PP，使得对满足 a,b,ca,b,c 的一切实数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0，都有 P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).解法: 1
  3. 第3题定义一个 hook 为由六个单位正方形组成的图形：一行三个方格与一列四个方格共用一个角上的方格，并在该行远端再附加一个方格（或将此图形旋转、翻转后得到的任意图形）。求所有能被这样的 hook 无缝隙、无重叠地铺满、且 hook 的任何部分都不越出矩形之外的 m×nm\times n 矩形。解法: 1
  4. 第4题设 n≥3n\ge 3 为整数，t1,t2,…,tnt_1,t_2,\dots,t_n 为正实数，满足 n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn).n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right). 证明：对所有满足 ti,tj,tkt_i,t_j,t_k 的 i,j,ki,j,k，1≤i<j<k≤n1\le i<j<k\le n 都是某个三角形的三边长。解法: 1
  5. 第5题在凸四边形 ABCDABCD 中，对角线 BDBD 既不平分角 ∠ABC\angle ABC，也不平分角 ∠CDA\angle CDA。点 PP 位于 ABCDABCD 内部，且满足 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. 证明：ABCDABCD 是圆内接四边形当且仅当 AP=CPAP=CP。解法: 1
  6. 第6题若一个正整数的十进制表示中任意两个相邻数字的奇偶性都不同，则称其为 alternating。求所有具有 alternating 倍数的正整数 nn。解法: 1