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第1题

设 ABCABC 是满足 AB≠ACAB\ne AC 的锐角三角形。以 BCBC 为直径的圆与边 ABAB、ACAC 分别交于 MM、NN。设 OO 为边 BCBC 的中点。角 ∠BAC\angle BAC 与角 ∠MON\angle MON 的平分线交于 RR。证明三角形 BMRBMR 与 CNRCNR 的外接圆在边 BCBC 上有一个公共点。
第 2/4 步：两个辅助圆
上一步下一步
∠AMH=∠ANH=90∘  ⟹  A,M,H,N concyclic (circle on diameter AH)\angle AMH=\angle ANH=90^\circ \implies A,M,H,N\text{ concyclic (circle on diameter }AH\text{)}
详细分析

直线 CM,BN 分别垂直于 AB,AC，因此 angle AMH=angle ANH=90^circ，从而 A,M,H,N 共圆于以 AH 为直径的圆。这个辅助圆将用于确定 R。 CMCM BNBN ABAB ACAC angleAMH=angleANH=90circangle AMH=angle ANH=90^circ A,M,H,NA,M,H,N AHAH RR