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第1题

设 ABCABC 是满足 AB≠ACAB\ne AC 的锐角三角形。以 BCBC 为直径的圆与边 ABAB、ACAC 分别交于 MM、NN。设 OO 为边 BCBC 的中点。角 ∠BAC\angle BAC 与角 ∠MON\angle MON 的平分线交于 RR。证明三角形 BMRBMR 与 CNRCNR 的外接圆在边 BCBC 上有一个公共点。
第 3/4 步：在过 RR 的圆上定位 A,M,H,NA,M,H,N
上一步下一步
R=arc midpoint of MN not containing A on circle (AMHN)  ⟹  A,M,R,N concyclic, RM=RNR=\text{arc midpoint of }MN\text{ not containing }A\text{ on circle }(AMHN) \implies A,M,R,N\text{ concyclic},\ RM=RN
详细分析

由于 OM=ONOM=ON，三角形 OMNOMN 为等腰三角形，故 angleMONangle MON 的平分线是 MNMN 的垂直平分线。在圆 (AMHN)(AMHN) 中，内接角 angleMANangle MAN 的平分线经过不含 MNMN 的弧 AA 的中点。因此两条平分线的交点 RR 正是该弧中点，并有 RM=RNRM=RN。