有向角等式使两圆与 BCBCBC 的第二交点重合。
设 (CNR)(CNR)(CNR) 与 BCBCBC 的第二交点为 KKK。记 ∠ACB=a\angle ACB=a∠ACB=a、∠CBA=b\angle CBA=b∠CBA=b、∠ONR=∠RMO=k\angle ONR=\angle RMO=k∠ONR=∠RMO=k。由圆内接四边形 AMRNAMRNAMRN 与 RRR、 MNMNMN 及 ARARAR 平分 ∠A\angle A∠A，得 ∠RMN=90∘−a2−b2\angle RMN=90^\circ-\frac a2-\frac b2∠RMN=90∘−2a−2b。另一方面在 MMM 处追角得 ∠RMN=180∘−a−b−k\angle RMN=180^\circ-a-b-k∠RMN=180∘−a−b−k，所以 a+b+2k=180∘a+b+2k=180^\circa+b+2k=180∘。又 ∠CNR=a+k\angle CNR=a+k∠CNR=a+k、∠RMB=b+k\angle RMB=b+k∠RMB=b+k，从而 ∠CNR+∠RMB=180∘\angle CNR+\angle RMB=180^\circ∠CNR+∠RMB=180∘。因此 KKK 也在 (BMR)(BMR)(BMR) 上，故两圆在 BCBCBC 上有公共点。