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第2题

求所有实系数多项式 PP，使得对满足 a,b,ca,b,c 的一切实数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0，都有 P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).
第 3/4 步：用首项系数限定次数
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deg⁡P=n≥6, leading coeff cn≠0  ⟹  cn(3n+5n+8n)=2cn7n  ⟹  (8/7)n≥2 for n≥6⇒contradiction\deg P=n\ge6,\ \text{leading coeff }c_n\ne0 \implies c_n(3^n+5^n+8^n)=2c_n7^n \implies (8/7)^n\ge2 \text{ for } n\ge6 \Rightarrow \text{contradiction}
详细分析

设 PP 不恒为零，次数为 nn，首项系数为 cn≠0c_n\ne0。比较 tnt^n 两边 P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t)P(3t)+P(5t)+P(8t)=2P(7t) 的系数得 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n。由于 PP 为偶函数且 P(0)=0P(0)=0，nn 为偶数。当 n≥6n\ge6 时，(8/7)n(8/7)^n 已超过 22，故 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n 迫使 n≥6n\ge6；直接验证可知 n=2n=2 与 n=4n=4 都满足 3n+5n+8n=2⋅7n3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n，故 nn 只能为 22 或 44。