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第2题

求所有实系数多项式 PP，使得对满足 a,b,ca,b,c 的一切实数 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0，都有 P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c).P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).
第 4/4 步：确认这类多项式都满足方程
上一步下一步
P(x)=βx2+αx4 (deg⁡P≤4, P(0)=0, P even)  ⟹  P(a)+P(b)+P(c)=β⋅2s2+α⋅2s4=2P(s) whenever a+b+c=s, ab+bc+ca=0P(x)=\beta x^2+\alpha x^4\ (\deg P\le4,\ P(0)=0,\ P\text{ even}) \implies P(a)+P(b)+P(c)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4=2P(s)\ \text{whenever } a+b+c=s,\ ab+bc+ca=0
详细分析

由第一、三步，P(x)=βx2+αx4P(x)=\beta x^2+\alpha x^4 对某些实常数 α,β\alpha,\beta 成立。反之，取满足 a,b,ca,b,c 的 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0，令 x=a−b,y=b−c,z=c−a,s=a+b+cx=a-b,y=b-c,z=c-a,s=a+b+c，则 x+y+z=0x+y+z=0 且 x2+y2+z2=2s2x^2+y^2+z^2=2s^2。于是 xy+yz+zx=−(x2+y2+z2)/2=−s2xy+yz+zx=-(x^2+y^2+z^2)/2=-s^2，从而 x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2−2(xy+yz+zx)2=2s4x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(xy+yz+zx)^2=2s^4；又 x4+y4+z4=2s4x^4+y^4+z^4=2s^4，从而 P(x)+P(y)+P(z)=β⋅2s2+α⋅2s4P(x)+P(y)+P(z)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4。因此 P(x)+P(y)+P(z)=β⋅2s2+α⋅2s4P(x)+P(y)+P(z)=\beta\cdot2s^2+\alpha\cdot2s^4 等于 2P(s)2P(s)，故此形式恒成立。