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第3题

定义一个 hook 为由六个单位正方形组成的图形：一行三个方格与一列四个方格共用一个角上的方格，并在该行远端再附加一个方格（或将此图形旋转、翻转后得到的任意图形）。求所有能被这样的 hook 无缝隙、无重叠地铺满、且 hook 的任何部分都不越出矩形之外的 m×nm\times n 矩形。
第 3/6 步：必要性：排除边长 1,2,51,2,5
上一步下一步
m or n∈{1,2,5}  ⟹  no hook fits without leftover cellsm\text{ or }n\in\{1,2,5\} \implies \text{no hook fits without leftover cells}
详细分析

hook 位于一个 3×33\times3 外接框内，所以不可能放进宽为 11 或 22 的条带。对宽为 55 的情形，考察一个角以及贴着两条边界的前两行、前两列。接触该角的 hook 只有图示格子模式经过旋转、翻转得到的有限种方向；逐一检查可知，hook 在前两层边界中的格子迫使这个 3×33\times3 窗口对角处的三个格子之一必须由下一个 hook 覆盖。下一个 hook 要么与第一个重叠，要么留下角旁紧邻的边界格子未覆盖。因此宽为 55 的矩形不可能在角处开始铺设，而每个矩形都有四个角。故必要条件是 m,n∉{1,2,5}m,n\notin\{1,2,5\}。