第3题

定义一个 hook 为由六个单位正方形组成的图形：一行三个方格与一列四个方格共用一个角上的方格，并在该行远端再附加一个方格（或将此图形旋转、翻转后得到的任意图形）。求所有能被这样的 hook 无缝隙、无重叠地铺满、且 hook 的任何部分都不越出矩形之外的

m\times n

矩形。

第 4/6 步：按空缺配对 hook

上一步下一步

\text{pair each hook \quad\text{with}\quad the one filling its L-hole} \implies \text{hooks come in pairs forming one of two }12\text{-cell tiles}

详细分析

把 hook 唯一的凹格称为内格。固定一个 hook H，取坐标使其六个格子为 $H=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ ；内格就是 $3\times3$ 外接框中缺失的中心格。覆盖该格的 hook 必须是 H 的平移、旋转或翻转，并且与 H 不相交。列出八种方向并平移到包含内格后，只剩下两个互相对应的配置（一个配置及其翻转）；在每个配置中，第二个 hook 的内格都是 H 的六个格子之一。因此覆盖 H 内格的 hook 会反向与 H 配对，每个 hook 恰好属于一对。这两种并集正是来源图中的两类 12 格 tile；坐标检查还表明不存在第三种方向。