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第3题

定义一个 hook 为由六个单位正方形组成的图形：一行三个方格与一列四个方格共用一个角上的方格，并在该行远端再附加一个方格（或将此图形旋转、翻转后得到的任意图形）。求所有能被这样的 hook 无缝隙、无重叠地铺满、且 hook 的任何部分都不越出矩形之外的 m×nm\times n 矩形。
第 6/6 步：得出两个整除条件
上一步下一步
applying Step 5 to both 6a×2b-type sub-rectangles  ⟹  3∣m or 3∣n,4∣m or 4∣n\text{applying Step 5 to both }6a\times2b\text{-type sub-rectangles} \implies 3\mid m\text{ or }3\mid n,\quad 4\mid m\text{ or }4\mid n
详细分析

配对得到 12∣mn12\mid mn，因此 m,nm,n 中至少有一个被 33 整除。还需证明某条边被 44 整除。反设 4∤m4\nmid m 且 4∤n4\nmid n。由于 4∣mn4\mid mn，两条边都为偶数；必要时交换两边，可设被 33 整除的边为 m=6am=6a，另一边为 n=2bn=2b。由 4∤m,n4\nmid m,n 可知 a,ba,b 都是奇数。因此 12 格 tile 的数目为 mn/12=abmn/12=ab，是奇数。但第五步以及交换行列后的同样论证表明两类 tile 的数目都为偶数，所以总数也应为偶数，矛盾。故 4∣m4\mid m 或 4∣n4\mid n；结合面积结论，得到 3∣m3\mid m 或 3∣n3\mid n，且 4∣m4\mid m 或 4∣n4\mid n。