第4题

设

n\ge 3

为整数，

t_1,t_2,\dots,t_n

为正实数，满足

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

证明：对所有满足

t_i,t_j,t_k

的

i,j,k

，

1\le i<j<k\le n

都是某个三角形的三边长。

第 1/4 步：展开为对角项与对称配对

上一步下一步

\left(\sum_{r=1}^n t_r\right)\left(\sum_{s=1}^n \frac{1}{t_s}\right)=n+\sum_{1\le r<s\le n}\left(\frac{t_r}{t_s}+\frac{t_s}{t_r}\right)

详细分析

固定任意三个下标 $i<j<k$ ；由对称性可将它们重新标为 $1,2,3$ ，并记 $(t_1,t_2,t_3)=(a,b,c)$ ，不妨设其顺序满足 $a\le b\le c$ 。将给定不等式右边的乘积展开，可把和为 $n$ 的 $t_r/t_r=1$ 个对角项 $n$ 与满足 $\binom{n}{2}$ 的 $t_r/t_s+t_s/t_r$ 个无序对 $1\le r<s\le n$ 分开。