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第4题

设 n≥3n\ge 3 为整数，t1,t2,…,tnt_1,t_2,\dots,t_n 为正实数，满足 n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn).n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right). 证明：对所有满足 ti,tj,tkt_i,t_j,t_k 的 i,j,ki,j,k，1≤i<j<k≤n1\le i<j<k\le n 都是某个三角形的三边长。
第 3/4 步：将三元不等式压缩为关于 s=(a+b)/cs=(a+b)/c 的不等式
上一步下一步
ab+ba≥2  ⟹  a+bc+ca+cb<5;1a+1b≥4a+b  ⟹  a+bc+4ca+b<5\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \implies \frac{a+b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}<5;\quad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \implies \frac{a+b}{c}+\frac{4c}{a+b}<5
详细分析

由均值不等式知 a/b+b/a≥2a/b+b/a\ge 2，故第二步给出 (a+b)/c+c(1/a+1/b)<5(a+b)/c + c(1/a+1/b) < 5。由柯西不等式（或调和-算术均值不等式）有 1/a+1/b≥4/(a+b)1/a+1/b\ge 4/(a+b)，乘以 c>0c>0 得 (a+b)/c+4c/(a+b)<5(a+b)/c + 4c/(a+b) < 5。令 s=(a+b)/c>0s=(a+b)/c>0，不等式化为 s+4/s<5s + 4/s < 5。