第4题

设

n\ge 3

为整数，

t_1,t_2,\dots,t_n

为正实数，满足

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

证明：对所有满足

t_i,t_j,t_k

的

i,j,k

，

1\le i<j<k\le n

都是某个三角形的三边长。

第 4/4 步：分解关于

s

的二次式得出

a+b>c

上一步下一步

s+\frac{4}{s}<5 \iff s^2-5s+4<0 \iff (s-1)(s-4)<0 \implies s>1 \implies a+b>c

详细分析

由于 $s>0$ ，将 $s+4/s<5$ 两边同乘 $s$ 得 $s^2-5s+4<0$ ，因式分解为 $(s-1)(s-4)<0$ 。因此 $1<s<4$ ，特别地有 $s>1$ ，即 $a+b>c$ 。又因已设 $a\le b\le c$ ，其余两个三角不等式 $a+c>b$ 与 $b+c>a$ 自动成立，故 $a,b,c$ 构成三角形的三边长。