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第5题

在凸四边形 ABCDABCD 中，对角线 BDBD 既不平分角 ∠ABC\angle ABC，也不平分角 ∠CDA\angle CDA。点 PP 位于 ABCDABCD 内部，且满足 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. 证明：ABCDABCD 是圆内接四边形当且仅当 AP=CPAP=CP。
第 1/5 步：△PBD\triangle PBD 中的等角共轭
上一步下一步
P∉BD,∠PBC=∠DBA, ∠PDC=∠BDA  ⟹  A,C isogonal conjugates in △PBD  ⟹  ∠APB+∠CPD=180∘P\notin BD,\quad \angle PBC=\angle DBA,\ \angle PDC=\angle BDA \implies A,C\text{ isogonal conjugates in }\triangle PBD \implies \angle APB+\angle CPD=180^\circ
详细分析

两个不平分条件推出 P∉BDP\notin BD：若 P 在 BD 上，第一个条件变为 ∠PBC=∠DBC\angle PBC=\angle DBC，从而 BD 平分 B 处的角。因此 △PBD\triangle PBD 非退化。第一个条件使 BA 与 BC 在 B 处等角，第二个使 DA 与 DC 在 D 处等角。把两对射线关于角平分线反射，三条塞瓦线的初等等角定理给出 PA,PCPA,PC 在 P 处等角。由于 P 在内部，∠APB+∠CPD=180∘\angle APB+\angle CPD=180^\circ。