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第5题

在凸四边形 ABCDABCD 中，对角线 BDBD 既不平分角 ∠ABC\angle ABC，也不平分角 ∠CDA\angle CDA。点 PP 位于 ABCDABCD 内部，且满足 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. 证明：ABCDABCD 是圆内接四边形当且仅当 AP=CPAP=CP。
第 2/5 步：用 ∠APB+∠CPD=180∘\angle APB + \angle CPD = 180^\circ 改写 △PAC\triangle PAC
上一步下一步
∡APB+∡CPD=0  ⟺  ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0 \iff \measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB
详细分析

使用模 180∘180^\circ 的有向角。第一步给出 ∡APB+∡CPD=0\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0。在 B 和 D 处补齐已知角得到 ∡PBA=∡CBD\measuredangle PBA=\measuredangle CBD 与 ∡PDC=∡ADB\measuredangle PDC=\measuredangle ADB。在三角形 ABP 与 CDP 中分解 P 处的两个角，得 ∡APB=∡PBA+∡BAP=∡CBD+∡BAC−∡PAC\measuredangle APB=\measuredangle PBA+\measuredangle BAP=\measuredangle CBD+\measuredangle BAC-\measuredangle PAC 以及 ∡CPD=∡PDC+∡DCP=∡ADB+∡DCA+∡ACP\measuredangle CPD=\measuredangle PDC+\measuredangle DCP=\measuredangle ADB+\measuredangle DCA+\measuredangle ACP。相加并使用第一步，得到 ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB，所以 ∡PAC=∡ACP\measuredangle PAC=\measuredangle ACP 当且仅当四角之和为零。