第5题

将各顶点置于复平面，坐标为 $a,b,c,d$，并定义 $z=\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}$。直接展开得 $(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=(a-c)(b-d)$，从而 $z+1=\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$。四个复数商的辐角分别为 $\measuredangle BAC,\measuredangle CBD,\measuredangle DCA,\measuredangle ADB$；它们的乘积除去一个实数符号后为 $(z+1)^2/z=z+2+1/z$。因此四角之和模 $180^\circ$ 为 $0$，当且仅当 $z+1/z$ 为实数。写成 $z=x+iy$ 后，该表达式的虚部为 $y(1-1/|z|^2)$，所以这恰好等价于 $z\in\mathbb R$ 或 $|z|=1$。前者是复交比为实数的通常判据，即 $A,B,C,D$ 共圆；后者给出 $|a-b||c-d|=|b-c||a-d|$，即 $AB\cdot CD=BC\cdot DA$，也就是拟调和条件。